已知二次函数y=ax²+bx+c,则下列结论中：①若抛物线开口向上,则a＞0.②若对称轴与x轴交于正半轴,则ab＞0.③若抛物线与x轴交于A,B,与y轴交与C,△ABC是直角三角形,则ac=-1.④若抛物线与x轴的两

Question

已知二次函数y=ax²+bx+c,则下列结论中：①若抛物线开口向上,则a＞0.②若对称轴与x轴交于正半轴,则
ab＞0.③若抛物线与x轴交于A,B,与y轴交与C,△ABC是直角三角形,则ac=-1.④若抛物线与x轴的两个交点及顶点构成等腰直角三角形,则根号b²-4ac=2.正确的个数有几个

Answer 1

因为当抛物线开口向上时,则a＞0,故①正确；
若对称轴与x轴交于正半轴时,则可得ab异号即ab＜0,故②错误；
若抛物线与x轴交于A,B 与y轴交于C,△ABC是直角三角形,：可设抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E,且△ABE是等腰直角三角形,
∴对称轴为y轴,
∴b=0,y=ax2+c,
令x=1,得到y=a+c,
而x=1对应的函数值不一定为0,故a+c不一定为0；
∵OA=OB=OE,
∴方程ax2+bx+c=0的两根为c与-c,
∴ac2+c=0,
∵c≠0,
∴c（ac+1）=0,
∴ac=-1,故③正确；
若抛物线与x轴的两个交点及顶点构成等腰直角三角形时,有③可知ac=-1,b=0
则
b2-4ac
=2．故④正确．
∴正确的个数有3个,
故选C．