如图，多面体PABCD的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PDC⊥平面PAD．

Question

如图，多面体PABCD的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面PDC⊥平面PAD．

Answer 1

证明：由多面体PABCD的三视图知，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是等腰三角形，PA=PD=√(2)，
且平面PAD平面ABCD．
（1）连结AC，则F是AC的中点，
在△CPA中，EF∥PA，
且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA
又PA=AD=√(2)，AD=2，∴△PAD是等腰直角三角形，
且∠PAD＝(π)/(2)，即PA⊥AD
又CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，
又PA⊂平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PDC．