三角形ABC中,角BAC＝90°,AD垂直于BC于点D,E是AC的中点,求证AB×AF＝AC×DF

Question

三角形ABC中,角BAC＝90°,AD垂直于BC于点D,E是AC的中点,求证AB×AF＝AC×DF

Answer 1

证明：
因为AD垂直于BC于点D
所以∠BDC=90°
因为三角形ABC中,∠BAC＝90°
所以∠BDC=∠BAC＝90°
因为∠BDC=∠BAC,∠BAD=∠BAD
所以三角形BDA与BAC相似
所以∠BAD=∠C,AB/AC=BD/AD
因为点E是斜边AC的中点
所以DE=CE=AE
所以∠C=∠EDC
因为∠BDF=∠EDC
所以∠C=∠BDF
因为∠C=∠BAD
所以∠BDF=∠BAD
因为∠F=∠F,∠BDF=∠BAD
所以三角形FBD与FDA相似
所以BD/AD=DF/AF
因为BD/AD=AB/AC
所以AB/AC=DF/AF
所以,AB×AF＝AC×DF