（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AA1=7，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．

Question

（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=√(7)，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A₁E．
（1）证明：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）求直线AD和平面A₁DE所成角的正弦值．

Answer 1

（1）如图所示，由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性质知AA₁⊥平面A₁B₁C₁
又DE⊂平面A₁B₁C₁，
所以DE⊥AA₁．
而DE⊥AE．AA₁∩AE=A，
所以DE⊥平面ACC₁A₁，
又DE⊂平面A₁DE，
故平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁．
（2）过点A做AF垂直A₁E于F，连接DF，

由（1）知：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁．
所以AF⊥平面A₁DE，
则∠ADF即为直线AD和平面A₁DE所成角，
因为DE⊥平面ACC₁A₁．
所以DE⊥AC，
而△ABC是边长为4的正三角形，
所以AD=2√(3)，AE=4-CE=4-(1)/(2)CD=3，
又因为AA₁=√(7)，
所以A₁E=√(AA12+AE2)=√((√(7))2+32)=4，
AF=(AE•AA1)/(A1E)=(3√(7))/(4)，
所以sin∠ADF=(AF)/(AD)=(√(21))/(8)，
故直线AD和平面A₁DE所成角的正弦值为(√(21))/(8)