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(2009•湖南)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=7,点D是BC的中点,点E在AC上,且DE⊥A1E.(1)证明:平面A1DE⊥平面ACC1A1;(2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8644ebf81a4c510feb1bcf9e6359252dd52aa552.jpg)
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(1)证明:平面A1DE⊥平面ACC1A1;
(2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图所示,由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1
又DE⊂平面A1B1C1,
所以DE⊥AA1.
而DE⊥AE.AA1∩AE=A,
所以DE⊥平面ACC1A1,
又DE⊂平面A1DE,
故平面A1DE⊥平面ACC1A1.
(2)过点A做AF垂直A1E于F,连接DF,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d8f9d72a6059252de2c83080379b033b5ab5b952.jpg)
由(1)知:平面A1DE⊥平面ACC1A1.
所以AF⊥平面A1DE,
则∠ADF即为直线AD和平面A1DE所成角,
因为DE⊥平面ACC1A1.
所以DE⊥AC,
而△ABC是边长为4的正三角形,
所以AD=2
,AE=4-CE=4-
CD=3,
又因为AA1=
,
所以A1E=
=
=4,
AF=
=
,
所以sin∠ADF=
=
,
故直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为
又DE⊂平面A1B1C1,
所以DE⊥AA1.
而DE⊥AE.AA1∩AE=A,
所以DE⊥平面ACC1A1,
又DE⊂平面A1DE,
故平面A1DE⊥平面ACC1A1.
(2)过点A做AF垂直A1E于F,连接DF,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d8f9d72a6059252de2c83080379b033b5ab5b952.jpg)
由(1)知:平面A1DE⊥平面ACC1A1.
所以AF⊥平面A1DE,
则∠ADF即为直线AD和平面A1DE所成角,
因为DE⊥平面ACC1A1.
所以DE⊥AC,
而△ABC是边长为4的正三角形,
所以AD=2
3 |
1 |
2 |
又因为AA1=
7 |
所以A1E=
AA12+AE2 |
(
|
AF=
AE•AA1 |
A1E |
3
| ||
4 |
所以sin∠ADF=
AF |
AD |
| ||
8 |
故直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为
| ||
8 |
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