（2014•舟山三模）如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，侧面B1C1CB⊥底面ABC，O是BC的中点，且AC1⊥BC．（Ⅰ）求证：AC1⊥A1B；（Ⅱ）求直线B1A与平面AOC1所成角的正切值．

Question

（2014•舟山三模）如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为a，侧面B₁C₁CB⊥底面ABC，O是BC的中点，且AC₁⊥BC．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）求直线B₁A与平面AOC₁所成角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）连接A₁C，因四边形A₁ACC₁是菱形，所以AC₁⊥A₁C------------4分
由已知AC₁⊥BC且BC∩A₁C=C
所以AC₁⊥面A₁BC------------6分
所以AC₁⊥A₁B；----------7分
（Ⅱ）因为AO是正△ABC的中线，所以BC⊥AO，又AC₁⊥BC，所以BC⊥面AOC₁-----------------9分
所以B₁C₁⊥面AOC₁，所以∠B₁AC₁就是所求的线面角，----------11分
所以BC⊥C₁O，
又因为侧面侧面B₁C₁CB⊥底面ABC，侧面B₁C₁CB∩底面ABC=BC
所以C₁O⊥面ABC，
因为C₁O=AO=(√(3))/(2)a，所以AC₁=(√(6))/(2)a，-----------13分
在Rt△AB₁C₁中，tan∠B₁AC₁=(a)/((√(6)a)/(2))=(√(6))/(3)-----------14分