如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，E、F分别是棱CC1、AB中点．（1）判断直线CF和平面AEB1的位置关系，并加以证明；（2）求四棱锥A-ECBB1的体积．

Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，E、F分别是棱CC₁、AB中点．
（1）判断直线CF和平面AEB₁的位置关系，并加以证明；
（2）求四棱锥A-ECBB₁的体积．

Answer 1

（1）CF∥平面AEB₁，证明如下：
取AB₁的中点G，连接EG，FG
∵△A₁AB中，F、G分别是棱AB、AB₁中点   
∴FG∥B₁B且FG=(1)/(2)B₁B  
又∵矩形BB₁C₁C中，EC∥B₁B且EC=(1)/(2)B₁B  
∴EC∥FG且EC=FG，得四边形FGEC是平行四边形  
∴CF∥EG
又∵CF⊂平面AEB₁，EG⊈平面AEB₁，
∴CF∥平面AEB₁．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC，
又∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB₁
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，而且BB₁、BC是平面ECBB₁内的相交直线
∴AC⊥平面ECBB₁ 
∵E是棱CC₁的中点，得EC=(1)/(2)AA₁=2
∴S_梯形ECBB1=(1)/(2)（EC+BB₁）BC=(1)/(2)（2+4）×2=6
∴四棱锥A-ECBB₁的体积V=(1)/(3)S_梯形ECBB1×AC=(1)/(3)×6×2=4