如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为A1B，B1C1的中点（Ⅰ）求证：MN∥平面A1ACC1（Ⅱ）已知A1A=AB=2，BC=5，∠CAB=90°，求三棱锥C1-ABA1的体积．

Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N分别为A₁B，B₁C₁的中点

（Ⅰ）求证：MN∥平面A₁ACC₁
（Ⅱ）已知A₁A=AB=2，BC=√(5)，∠CAB=90°，求三棱锥C₁-ABA₁的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设K是B₁C的中点，分别在△AB₁C，△B₁C₁C中利用三角形中位线定理可得：
MK∥AC，KN∥CC₁，
又MK∩NK=K，∴平面MNK∥平面AA₁C₁C，
又MN⊂平面MNK，∴MN∥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ） ∵∠CAB=90°，AB=2，BC=√(5)，
∴AC=√(BC2-AB2)=1，则S_△ABC=1，
∵ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴高为AA₁=2，
∴棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为VABC-A1B1C1=2．
∴VC1-ABA1=(1)/(3)VABC-A1B1C1=(2)/(3)．