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(2013•湖南)如图.在直棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=3,D是BC的中点,点E在棱BB1上运动.(1)证明:AD⊥C1E;(2)当异面直线AC,C1E所成的角为60°时,求三棱锥C1-A1B1E的体积.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5bafa40f4bfbfbed5fb7ffce7bf0f736aec31f91.jpg)
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(1)证明:AD⊥C1E;
(2)当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三棱锥C1-A1B1E的体积.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵直棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,∴AD⊥BB1
∵△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∴AD⊥BC
又∵BC、BB1⊂平面BB1C1C,BC∩BB1=B
∴AD⊥平面BB1C1C,结合C1E⊂平面BB1C1C,可得AD⊥C1E;
(2)∵直棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1,
∴∠EC1A1(或其补角)即为异面直线AC、C1E 所成的角
∵∠BAC=∠B1A1C1=90°,∴A1C1⊥A1B1,
又∵AA1⊥平面A1B1C1,可得A1C1⊥AA1,
∴结合A1B1∩AA1=A1,可得A1C1⊥平面AA1B1B,
∵A1E⊂平面AA1B1B,∴A1C1⊥A1E
因此,Rt△A1C1E中,∠EC1A1=60°,可得cos∠EC1A1=
=
,得C1E=2A1C1=2
又∵B1C1=
=2,∴B1E=
=2
由此可得V C1-A1B1E=
S△ A1B1E×A1C1=
×
×2×
×
∵△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∴AD⊥BC
又∵BC、BB1⊂平面BB1C1C,BC∩BB1=B
∴AD⊥平面BB1C1C,结合C1E⊂平面BB1C1C,可得AD⊥C1E;
(2)∵直棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1,
∴∠EC1A1(或其补角)即为异面直线AC、C1E 所成的角
∵∠BAC=∠B1A1C1=90°,∴A1C1⊥A1B1,
又∵AA1⊥平面A1B1C1,可得A1C1⊥AA1,
∴结合A1B1∩AA1=A1,可得A1C1⊥平面AA1B1B,
∵A1E⊂平面AA1B1B,∴A1C1⊥A1E
因此,Rt△A1C1E中,∠EC1A1=60°,可得cos∠EC1A1=
A 1C1 |
C1E |
1 |
2 |
2 |
又∵B1C1=
A1C12+A 1B12 |
C 1E2-B1C12 |
由此可得V C1-A1B1E=
1 |
3 |
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3 |
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2 |
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