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已知正方形ABCD,E、F分别是边AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示,记二面角A-DE-C的大小为θ(0<θ<π)。(1)证明BF∥平面ADE;(2)若△ACD为正三角形,试判断点A在平
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已知正方形ABCD,E、F分别是边AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示,记二面角A-DE-C的大小为θ(0<θ<π)。 |
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(1)证明BF∥平面ADE; (2)若△ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角θ的余弦值。 |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点 ∴ED∥FD,且EB=FD, ∴四边形EBFD是平行四边形, ∴EF∥ED ∵BD 平面AED,而BF 平面AED ∴BF∥平面AED。 | |
(2)点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上, 过点A作AG⊥平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD ∵△ACD为正三角形 ∴AC=AD, ∴GC=GD, ∴G在CD的垂直平分线上, 又∵EF是CD的垂直平分线 ∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上 过G作GH⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE ∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ 设原正方形ABCD的边长为2a,连结AF 在折后图的△AEF中,AF= a,EF=2AE=2a, ∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF, ∴AC= 在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE, ∴AH= , ∴ ∴ 。 |
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