用数学归纳法证明,对于任意的正偶数n,均有1/1*2+1/3*4+...+1/(n-1)*n=2(1/n+2+1/n+4+1/2n）

Question

用数学归纳法证明,对于任意的正偶数n,均有1/1*2+1/3*4+...+1/(n-1)*n=2(1/n+2+1/n+4+1/2n）

Answer 1

令n=2k则所要证明的是1/1*2 + 1/3*3 + ...+ 1/(2k-1)2k = 1/k + 1/k+2 + ...+ 1/2k
证明如下
= 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...+ 1/(2k-1) - 1/2k
= 1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/(2k-1) + 1/2k - 2(1/2 + 1/4 + ...+ 1/2k)
= 1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/(2k-1) + 1/2k - (1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/k)
= 1/(n+1) + 1/(n+2) + ...+ 1/2k