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设P是二面角α-l-β内一点,PA⊥平面α,PB⊥平面β,A,B为垂足,且∠APB=60°,则二面角α-l-β的大小为()A.30°B.60°C.60°或120°D.120°
题目详情
设P是二面角α-l-β内一点,PA⊥平面α,PB⊥平面β,A,B为垂足,且∠APB=60°,则二面角α-l-β的大小为( )
A.30°
B.60°
C.60°或120°
D.120°
A.30°
B.60°
C.60°或120°
D.120°
▼优质解答
答案和解析
由A作AO⊥l,连结BO,OP
∵PA⊥α于A,OA⊂α,l⊂α,
∴PA⊥l,AO⊥l,且AO∩PA=A,
∴l⊥面POA.
∵PA⊂面POA,∴l⊥P0,
∵PB⊥β于B,l⊂β,∴PB⊥l,
∵PB∩PO=P,∴l⊥面POB于O,∴l⊥面POA于O.
∵过一点有且只有一个平面垂直于一条直线,∴P、O、B、A四点共面,
且由于OA OB分别包含于面POA和面POB,
∴l⊥OA,l⊥OB,AO∩OB=O,
∴∠AOB为二面角α-l-β的平面角,
∵P在二面角α-l-β内,∴∠APB+∠OBP+∠OAP+∠AOB=360°,
∵∠PAO=∠PBO=90°,∠APB=60°,
∴∠AOB=120°,
故二面角α-l-β为120°.
故选:D.
∵PA⊥α于A,OA⊂α,l⊂α,
∴PA⊥l,AO⊥l,且AO∩PA=A,
∴l⊥面POA.
∵PA⊂面POA,∴l⊥P0,
∵PB⊥β于B,l⊂β,∴PB⊥l,
∵PB∩PO=P,∴l⊥面POB于O,∴l⊥面POA于O.
∵过一点有且只有一个平面垂直于一条直线,∴P、O、B、A四点共面,
且由于OA OB分别包含于面POA和面POB,
∴l⊥OA,l⊥OB,AO∩OB=O,
∴∠AOB为二面角α-l-β的平面角,
∵P在二面角α-l-β内,∴∠APB+∠OBP+∠OAP+∠AOB=360°,
∵∠PAO=∠PBO=90°,∠APB=60°,
∴∠AOB=120°,
故二面角α-l-β为120°.
故选:D.
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