（2012•道里区三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（-4，0

Question

（2012•道里区三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（-4，0）处．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P从点A出发以每秒4√(5)个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵C（0，8），D（-4，0），
∴OC=8，OD=4，
设OB=a，则BC=8-a，
由折叠的性质可得：BD=BC=8-a，
在Rt△BOD中，∠BOD=90°，DB²=OB²+OD²，
则（8-a）²=a²+4²，
解得：a=3，
则OB=3，
则B（0，3），
tan∠ODB=(OB)/(OD)=(3)/(4)，
由折叠的性质得：∠ADB=∠ACB，
则tan∠ACB=tan∠ODB=(3)/(4)，
在Rt△AOC中，∠AOC=90°，tan∠ACB=(OA)/(OC)=(3)/(4)，
则OA=6，
则A（6，0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则

6k+b＝0

b＝3

，
解得：

k＝−(1)/(2)

b＝3

，
故直线AB的解析式为：y=-(1)/(2)x+3；

（2）在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，
则AB=√(OB2+OA2)=3

作业帮用户 2017-10-23

问题解析

（1）由C（0，8），D（-4，0），可求得OC，OD的长，然后设OB=a，则BC=8-a，在Rt△BOD中，由勾股定理可得方程：（8-a）²=a²+4²，解此方程即可求得B的坐标，然后由三角函数的求得点A的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB的长，继而求得∠BAO的正切与余弦，由PR∥AC与折叠的性质，易证得RQ=AR，则可求得d与t的函数关系式；
（3）首先过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，易证得四边形NTOS是正方形，然后分别从点N在第二象限与点N在第一象限去分析求解即可求得答案．

名师点评

本题考点：

一次函数综合题．

考点点评：

此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．

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