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已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x;(1)求函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=k在区间[-1,2]上只有一个实数根,求实数k的取值范围.
题目详情
已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x;
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=k在区间[-1,2]上只有一个实数根,求实数k的取值范围.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=k在区间[-1,2]上只有一个实数根,求实数k的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)设f(x)=ax2+bx+c(其中a≠0),
∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c(a≠0),f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c(a≠0);
∴f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,
∴a=1,b=-2,c=-1,
∴函数f(x)的解析式为:
f(x)=x2-2x-1;
(2)函数f(x)=x2-2x-1,x∈[-1,2]的图象如图所示:;
当直线y=k与图象的交点情况是:
当k=-2时,只有一个交点;
当-2<k≤-1时,有两个交点;
当-1<k≤2时,只有一个交点;
所以,方程f(x)=k在区间[-1,2]上只有一个实数根,
此时k=-2或-1<k≤2;
另
方程f(x)=k可化为:(x-1)2=2+k,
当k≥-2时,有两个实根:x1=1−
, x2=1+
;
∵k=-2时,x1=x2=1∈[-1,2];-2<k≤-1时,x1,x2∈[-1,2],此时方程在区间[-1,2]上有两个根;-1<k≤2时,x1∈[-1,2],x2>2,此时方程在区间[-1,2]上只有一个根;
所以,若方程f(x)=k在区间[-1,2]上只有一个实数根,k的取值范围是-1<k≤2.
∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c(a≠0),f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c(a≠0);
∴f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,
∴a=1,b=-2,c=-1,
∴函数f(x)的解析式为:
f(x)=x2-2x-1;
(2)函数f(x)=x2-2x-1,x∈[-1,2]的图象如图所示:;
当直线y=k与图象的交点情况是:
当k=-2时,只有一个交点;
当-2<k≤-1时,有两个交点;
当-1<k≤2时,只有一个交点;
所以,方程f(x)=k在区间[-1,2]上只有一个实数根,
此时k=-2或-1<k≤2;
另
方程f(x)=k可化为:(x-1)2=2+k,
当k≥-2时,有两个实根:x1=1−
2+k |
2+k |
∵k=-2时,x1=x2=1∈[-1,2];-2<k≤-1时,x1,x2∈[-1,2],此时方程在区间[-1,2]上有两个根;-1<k≤2时,x1∈[-1,2],x2>2,此时方程在区间[-1,2]上只有一个根;
所以,若方程f(x)=k在区间[-1,2]上只有一个实数根,k的取值范围是-1<k≤2.
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