已知函数f（x）=ax2+2x+c（a、c∈N*）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．（1）求a、c的值；（2）若对任意的实数x∈[12，32]，都有f（x）-2mx≤1成立，求实数m的取值

Question

已知函数f（x）=ax ² +2x+c（a、c∈N ^* ）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求a、c的值；
（2）若对任意的实数x∈[ (1)/(2) ， (3)/(2) ]，都有f（x）-2mx≤1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（1）=a+2+c=5，
∴c=3-a．①
又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②
将①式代入②式，得- (1)/(3) ＜a＜ (4)/(3) ，又∵a、c∈N ^* ，∴a=1，c=2．
（2）由（1）知f（x）=x ² +2x+2．
证明：∵x∈[ (1)/(2) ， (3)/(2) ]，∴不等式f（x）-2mx≤1恒成立⇔2（1-m）≤-（x+ (1)/(x) ）在[ (1)/(2) ， (3)/(2) ]上恒成立．
易知[-（x+ (1)/(x) ）] _min =- (5)/(2) ，
故只需2（1-m）≤- (5)/(2) 即可．
解得m≥ (9)/(4) ．