已知函数f（x）=23x+12，h（x）=x．设函数F（x）=18f（x）-x2[h（x）]2，求F（x）的单调区间与极值．

Question

已知函数f（x）=(2)/(3)x+(1)/(2)，h（x）=√(x)．设函数F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²，求F（x）的单调区间与极值．

Answer 1

F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²
=-x³+12x+9，（x≥0），
∴F′（x）=-3x²+12．
令F′（x）=0，得x=2，（x=-2舍去）．
当x∈（0，2）时，F′（x）＞0；
当x∈（2，+∞）时，F′（x）＜0，
故当x∈[0，2）时，F（x）为增函数；
当x∈[2，+∞）时，F（x）为减函数．
x=2为F（x）的极大值点，
且F（2）=-8+24+9=25．
故F（x）的单调增区间为[0，2），单调减区间为[2，+∞），极大值为25．