如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都等于a，D、E分别是AC1、BB1的中点，（1）求证：DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角E-AC1-C的大小；（3）求点C1到平面AEC的距离

Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都等于a，D、E分别是AC₁、BB₁的中点，
（1）求证：DE是异面直线AC₁与BB₁的公垂线段，并求其长度；
（2）求二面角E-AC₁-C的大小；
（3）求点C₁到平面AEC的距离．

Answer 1

（1）证明：过D在面AC₁内作FG∥A₁C₁分别交AA₁、CC₁于F、G，
则面EFG∥面ABC∥面A₁B₁C₁，
∴△EFG为正三角形，D为FG的中点，ED⊥FG．
连AE，C₁E
∵D、E分别为AC₁、BB₁的中点，
∴AE=EC₁，DE⊥AC₁．
又∵面EFG⊥BB₁，
∴ED⊥BB₁，故DE为AC₁和BB₁的公垂线，
∵EC1＝(√(5))/(2)a，DC1＝(√(2))/(2)a，∴DE=(√(3))/(2)a．
（2）由（1）可得DE⊥平面AC₁，∴平面AEC₁⊥平面AC₁，∴二面角E-AC₁-C为90°．
（3）设点C₁到平面ACE的距离为h
在△AEC中，AE=CE=(√(5))/(2)a，AC=a，∴S△AEC＝(1)/(2)×a×a＝(1)/(2)a2
∵VA−CEC1＝(1)/(3)×(1)/(2)×a×a×(√(3))/(2)a，VA−CEC1＝VC1−AEC
∴