已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BDEFGH分别这四条边ABBCCDDA的中点试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝BC＝CD＝DA作出异面直线AC与BD的公垂线段.

Question

已知空间四边形ABCD.

(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;

(2)若AC⊥BD E F G H分别这四条边AB BC CD DA的中点 试判断四边形EFGH的形状;

(3)若AB＝BC＝CD＝DA 作出异面直线AC与BD的公垂线段.

Answer 1

证明：(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面， 所以A、B、C、D四点共面 这与空间四边形ABCD的定义矛盾 所以对角线AC与BD是异面直线  (2)∵E F分别为AB BC的中点 ∴EF//AC 且EF=AC. 同理HG//AC 且HG=AC.∴EF平行且相等HG ∴EFGH是平行四边形. 又∵F G分别为BC CD的中点 ∴FG//BD ∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角. ∵AC⊥BD ∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形. (3)作法取BD中点E AC中点F 连EF 则EF即为所求.