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已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E、F分别是BD1和AD中点.(1)求异面直线CD1、EF所成的角;(2)证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线.
题目详情
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E、F分别是BD1和AD中点.
(1)求异面直线CD1、EF所成的角;
(2)证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线.
(1)求异面直线CD1、EF所成的角;
(2)证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵在平行四边形BAD1C1中,
E也是AC1的中点,∴EF∥C1D,(2分)
∴两相交直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与EF所成的角.(4分)
又A1A=AB,长方体的侧面ABB1A1,
CDD1C1都是正方形,∴D1C⊥CD1
∴异面直线CD1、EF所成的角为90°.(7分)
(2)证:设AB=AA1=a,∵D1F=
=BF,
∴EF⊥BD1.(9分)
由平行四边形BAD1C1,知E也是AC1的中点,
且点E是长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心,(12分)
∴EA=ED,∴EF⊥AD,又EF⊥BD1,
∴EF是异面直线BD1与AD的公垂线.(14分)
E也是AC1的中点,∴EF∥C1D,(2分)
∴两相交直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与EF所成的角.(4分)
又A1A=AB,长方体的侧面ABB1A1,
CDD1C1都是正方形,∴D1C⊥CD1
∴异面直线CD1、EF所成的角为90°.(7分)
(2)证:设AB=AA1=a,∵D1F=
a2+
|
∴EF⊥BD1.(9分)
由平行四边形BAD1C1,知E也是AC1的中点,
且点E是长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心,(12分)
∴EA=ED,∴EF⊥AD,又EF⊥BD1,
∴EF是异面直线BD1与AD的公垂线.(14分)
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