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如图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点．
题目详情
如图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点．
▼优质解答
答案和解析
证明：连接AN，交平面α于点Q，连接PQ．
∵b∥α，b⊂平面ABN，平面ABN∩α=OQ，
∴b∥OQ．又O为AB的中点，
∴Q为AN的中点．∵a∥α，a⊂平面AMN且平面AMN∩α=PQ，
∴a∥PQ．∴P为MN的中点．
∵b∥α，b⊂平面ABN，平面ABN∩α=OQ，
∴b∥OQ．又O为AB的中点，
∴Q为AN的中点．∵a∥α，a⊂平面AMN且平面AMN∩α=PQ，
∴a∥PQ．∴P为MN的中点．
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