如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．

Question

如图，l₁、l₂是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN．

（Ⅰ）证明AC⊥NB；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知l₂⊥MN，l₂⊥l₁，MN∩l₁=M，可得l₂⊥平面ABN．
由已知MN⊥l₁，AM=MB=MN，
可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．
∴AC⊥NB
（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB，
∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，
因此△ABC为正三角形．
∵Rt△ANB≌Rt△CNB，
∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，
连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．
在Rt△NHB中，cos∠NBH=(HB)/(NB)=((√(3))/(3)AB)/((√(2))/(2)AB)=(√(6))/(3)．