设抛物线c:y=4x的焦点为f,直线L过f且与c交于AB两点,若AF=3BF则L的直线方程是什么

Question

设抛物线c:y=4x的焦点为f,直线L过f且与c交于AB两点,若AF=3BF则L的直线方程是什么

Answer 1

答：
抛物线方程为y²=4x,焦点F（1,0）,准线方程为x=-1
直线L经过焦点F,设点A为（a²,2a）,点B为（b²,2b）,
则：
AF=a²+1,BF=b²+1
因为：AF=3BF
所以：a²+1=3b²+3,a²=3b²+2
直线AB的斜率k=(2b-2a)/(b²-a²)=2/(a+b)=(2a-0)/(a²-1)=2a/(a²-1)
整理得：ab=-1,b=-1/a
代入a²=3b²+2得：a²=3/a²+2
整理得：(a²)²-2a²-3=0
解得：a²=3（a²=-1不符合舍去）
所以：a=√3或者a=-√3
代入k=2a/(a²-1)=a=±√3
所以：直线方程为y=±√3(x-1)