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如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BC=4,线段MN在BC边上沿BC方向运动(运动开始时,点M与点B重合,点N到达点C时运动终止),MN=1,分别过点M、N分别作BC的垂线,与折线B→A→C交于P、Q两点,设
题目详情
如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BC=4,线段MN在BC边上沿BC方向运动(运动开始时,点M与点B重合,点N到达点C时运动终止),MN=1,分别过点M、N分别作BC的垂线,与折线B→A→C交于P、Q两点,设线段BM的长为x.
(1)线段MN在运动的过程中,当PM=QN时,求x值;
(2)线段MN在运动的过程中,PM+QN=y,请用含x的式子表示y,并写出x的取值范围.
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(1)线段MN在运动的过程中,当PM=QN时,求x值;
(2)线段MN在运动的过程中,PM+QN=y,请用含x的式子表示y,并写出x的取值范围.
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▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵PM⊥BC,QN⊥BC,
∴∠PMB=∠QNC=90°,
在Rt△PMB中,PM=BM,
同理:QN=CN,
∵PM=QN,
∴BM=CN,
∵BC=4,MN=1,
∴BC=BM+MN+CN=2BM+MN=4,
∴BM=
(4-MN)=
,
∴x=
;
(2)①、如图2,
在等腰直角三角形ABC中,BC=4,
∴BH=CH=
BC=2,
∵MN=1,
∴BM<1
当0≤x≤1时,
在Rt△OMB中,∠ABC=45°,
∴PM=BM=x,
在Rt△QNB中,QN=BN=BM+MN=x+1,
∴y=PM+QN=x+x+1=2x+1,
②、如图3,
当1<x<2时,同①得,PM=BM=x,
在Rt△QNC中,QN=CN,
∵BC=BM+MN+CN,
∴QN=CN=BC-BM-MN=4-x-1=3-x,
∴y=PM+QN=x+3-x=3;
③、如图4,当2≤x≤3时,
∵BC=4,BM=x,
∴CM=BC-BM=4-x,
∵MN=1,
∴CN=CM-MN=4-x-1=3-x,
在Rt△PMC中,PM=CM=4-x,
同理:QN=CN=3-x,![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_37cc9da3fccd25ec59946fccba496cec.jpg)
∴y=PM+QN=4-x+3-x=7-2x;
即:y=
.
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∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵PM⊥BC,QN⊥BC,
∴∠PMB=∠QNC=90°,
在Rt△PMB中,PM=BM,
同理:QN=CN,
∵PM=QN,
∴BM=CN,
∵BC=4,MN=1,
∴BC=BM+MN+CN=2BM+MN=4,
∴BM=
1 |
2 |
3 |
2 |
∴x=
3 |
2 |
(2)①、如图2,
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∴BH=CH=
1 |
2 |
∵MN=1,
∴BM<1
当0≤x≤1时,
在Rt△OMB中,∠ABC=45°,
∴PM=BM=x,
在Rt△QNB中,QN=BN=BM+MN=x+1,
∴y=PM+QN=x+x+1=2x+1,
②、如图3,
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在Rt△QNC中,QN=CN,
∵BC=BM+MN+CN,
∴QN=CN=BC-BM-MN=4-x-1=3-x,
∴y=PM+QN=x+3-x=3;
③、如图4,当2≤x≤3时,
∵BC=4,BM=x,
∴CM=BC-BM=4-x,
∵MN=1,
∴CN=CM-MN=4-x-1=3-x,
在Rt△PMC中,PM=CM=4-x,
同理:QN=CN=3-x,
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∴y=PM+QN=4-x+3-x=7-2x;
即:y=
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