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若实数a,b,c是三角形的三边,试判断方程b^2X^2+(b^2+c^2-a^2)X+c^2==0是否有实数跟,并证明你的结论.
题目详情
若实数a,b,c是三角形的三边,试判断方程b^2X^2+(b^2+c^2-a^2)X+c^2==0是否有实数跟,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0
△=(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2=(b^2+c^2-a^2+2bc)(b^2+c^2-a^2-2bc)
=[(b+c)^2-a^2][(b-c)^2-a^2]
由于a,b,c是三角形ABC的边长
故(b+c)>a>0
0<|b-c|<a
故(b+c)^2>a^2
(b-c)^2<a^2
故(b+c)^2-a^2<0
(b-c)^2-a^2<0
故△=[(b+c)^2-a^2][(b-c)^2-a^2]<0
故关于x的方程b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0没有实数解
△=(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2=(b^2+c^2-a^2+2bc)(b^2+c^2-a^2-2bc)
=[(b+c)^2-a^2][(b-c)^2-a^2]
由于a,b,c是三角形ABC的边长
故(b+c)>a>0
0<|b-c|<a
故(b+c)^2>a^2
(b-c)^2<a^2
故(b+c)^2-a^2<0
(b-c)^2-a^2<0
故△=[(b+c)^2-a^2][(b-c)^2-a^2]<0
故关于x的方程b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0没有实数解
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