已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB//DC,∠DAB=90°,PA ⊥底面ABCD ,且PA=AD=DC=1/2AB=1 ,M是PB的中点1,.求AC与PB所成的角的余弦值 2.求平面AMB与平面PMC所成二面角的余弦值

Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB//DC,∠DAB=90°,PA ⊥底面ABCD ,且PA=AD=DC=1/2AB=1 ,M是PB的中点
1,.求AC与PB所成的角的余弦值
2.求平面AMB与平面PMC所成二面角的余弦值

Answer 1

1
过点B作BE//CA,且BE=CA,
则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE,可知AC=CB=BE=AE=√2,又AB=2,
所以四边形ACBE为正方形.由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=√2,PB=√5,
∴cos∠PBE=BE/PB=√10/5
∴AC与PB所成的角余弦值为√10/5
2.
作AN⊥CM,垂足为N,连结BN.
在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,
∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角.
∵CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC,
在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中,AN•MC=√[M²-(AC/2)²•AC
∴AN=(√3/2•√2)/(√5/2)=√6/√5
∴AB=2
∴cos∠ANB=(AN²+BN²-AB²)/(2AN•BN)=-2/3