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a、b、c是正整数,并且满足等式abc+ab+ac+bc+a+b+c+1=2004,那么a+b+c的最小值是多少?

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a、b、c是正整数,并且满足等式abc+ab+ac+bc+a+b+c+1=2004,那么a+b+c的最小值是多少?
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答案和解析
abc+ab+ac+bc+a+b+c+1=2004
ab(c+1)+a(c+1)+b(c+1)+(c+1)=2004
(c+1)(ab+a+b+1)=2004
(a+1)(b+1)(c+1)=2004
因为a、b、c都是正整数,
那么a+1、b+1、c+1也都是正整数,且它们都大于1
而2004=2×2×3×167
现在要把2004写成3个正整数的乘积,只有下面4种情况:
1,2004=2×6×167,此时a+1+b+1+c+1=2+6+167=175,那么a+b+c=172;
2,2004=2×3×334,此时a+1+b+1+c+1=2+3+334=339,那么a+b+c=336;
3,2004=2×2×501,此时a+1+b+1+c+1=2+2+501=505,那么a+b+c=502;
4,2004=4×3×167,此时a+1+b+1+c+1=4+3+167=174,那么a+b+c=171
所以最小的是第4种情况,即a+b+c的最小值为171,
答:a+b+c的最小值是171.