已知：如图，∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）线段BF、线段BC、线段AB之间有何数量关系？写出你的猜想及证明思路．

Question

已知：如图，∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，

（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；
（2）线段BF、线段BC、线段AB之间有何数量关系？写出你的猜想及证明思路．

Answer 1

（1）证明：过P点作PE⊥BA于点E，如图所示．
∵∠1=∠2，PF⊥BC，
∴PE=PF．
在Rt△PAE与Rt△PCF中，

PA=PC

PE=PF

，
∴Rt△PAE≌Rt△PCF（HL），
∴∠PCF=∠PAE．
∵∠PAE+∠BAP=180°，
∴∠PCB+∠BAP=180°．
（2） 2BF=AB+BC．
证明：∵Rt△PAE≌Rt△PCF，
∴AE=CF．
在Rt△PBE和Rt△PBF中，

PB=PB

PE=PF

，
∴Rt△PBE≌Rt△PBF（HL），
∴BE=BF．
∴2BF=BE+BF=AB+AE+BF=AB+FC+BF=AB+AC．