8和9是唯一的连续幂吗?如果一个整数具有形式m^n,则它被称为完全幂,此处m和n是整数且n>1.一般推测8=2^3and9=3^2是唯一的完全幂连续整数.

Question

8 和 9 是唯一的连续幂吗?如果一个整数具有形式 m^n ,则它被称为完全幂,此处 m 和 n 是整数且 n>1 .一般推测 8=2^3 and 9=3^2 是唯一的完全幂连续整数.

Answer 1

这是卡塔兰猜想卡塔兰猜想是比利时数学家欧仁·查理·卡塔兰(Eugène Charles Catalan)在1844年提出的一个数论的猜想.它是说除了8=2^3,9=3^2,没有两个连续整数都是正整数的幂；以数学方式表述为：不定方程x^a-y^b=1的大於1的正整数x,y,a,b只有唯一解x=3,y=2,a=2,b=3.也可以叫“8--9”猜想. 2002年4月,帕德博恩大学的罗马尼亚数学家普雷达·米哈伊列斯库(Preda Mih?ilescu)证明了这猜想,所以它现在是定理了.这个证明由尤里·比卢(Yuri Bilu)检查,大幅使用了分圆域和伽罗华模. 与卡塔兰猜想相似的有费马大定理. 历史在卡塔兰之前已有人考虑过类似的问题. 1320年左右,莱维·本·热尔松（Levi ben Gerson,1288年—1344年）证明2和3的幂之间只有8和9相差是1. 莱昂哈德·欧拉证明,x2 - y3 = 1只有一x = 3,y = 2. 勒贝格证明了方程xa - y2 = 1,a > 1 没有正整数解. 1965年柯召证明方程x2 - yb = 1,b > 1 只有一个解. 於是卡塔兰猜想只馀下a,b为奇素数的情况. 1976年罗贝特·泰德曼(Robert Tijdeman)证明卡塔兰猜想的方程只有有限个解.雷·斯坦纳(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奥特(Maurice Mignotte)也对这猜想作出贡献. 皮莱(Pillai)猜想：把卡塔兰猜想一般化,推测正整数的幂之间的差趋向无限大；换句话说,对任何正整数,仅有限多对正整数的幂的差是这个数.这猜想现在仍未解决.