函数的原函数除常数项之外是唯一确定的吗?对于给定的在[a,b]区间内连续的函数f(x),有无穷多个原函数F(x)使得∫f(x)=F(x).但是这些原函数除了积分常数不同之外都完全相同.是否存在一个G(x),使

Question

函数的原函数除常数项之外是唯一确定的吗?
对于给定的在[a,b]区间内连续的函数f(x),有无穷多个原函数F(x)使得∫f(x)=F(x).但是这些原函数除了积分常数不同之外都完全相同.是否存在一个G(x),使得G'(x)=f(x)且G(x)-F(x)=h(x)不为常函数?怎么证明?

Answer 1

原函数除常数项之外是唯一确定的.
假设存在G'(x)=f(x)
F‘(x)=f(x)
那么两式相减得：G'(x)-F'(x)=0
两边积分,左边即得：G(x)-F(x)+C1
右边对0的积分,只能为C2
即G(x)-F(x)+C1=C2
所以G(x)与F(x)只能差常数项.