已知：AD=2，BD=4，以AB为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在直线AB的两侧．（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长；（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD的最大值，及相应∠ADB的

Question

已知：AD=2，BD=4，以AB为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在直线AB的两侧．

（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长； 
（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD的最大值，及相应∠ADB的大小．

Answer 1

（1）作AH⊥BD于H，如图，
在Rt△ADH中，
∵∠ADB=60°，
∴∠DAH=30°，
∴DH=(1)/(2)AD=1，
∴DH=√(3)AH=√(3)，
∴BH=BD-DH=4-√(3)，
在Rt△AHB中，AB=√(AH2+BH2)=2√(3)，
∴∠ABH=30°，
∵△ACB为等边三角形，
∴∠ABC=60°，BC=BA=2√(3)，
∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，CD=√(BD2+BC2)=2√(7)；
（2）把△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB，
则AE=AD，BE=DC，∠EAD=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=DA=2，∠ADE=60°，
当E点在直线BD上时，BE最大，最大值为2+4=6，
∴CD的最大值为6，此时∠ADB=120°．