设f(x)＝ex1+ax2，其中a为正实数．（1）当a＝43时，求f（x）的极值点；（2）若f（x）为[12，32]上的单调函数，求a的取值范围．

Question

设f(x)＝(ex)/(1+ax2)，其中a为正实数．
（1）当a＝(4)/(3)时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）为[(1)/(2)， (3)/(2)]上的单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

∵f′(x)＝((ax2−2ax+1)ex)/((1+ax2)2)，
（1）当a＝(4)/(3)时，若f'（x）=0，
则4x2−8x+3＝0⇒x1＝(1)/(2)， x2＝(3)/(2)，

x	(−∞，(1)/(2))	(1)/(2)	((1)/(2)， (3)/(2))	(3)/(2)	((3)/(2)， +∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴x1＝(1)/(2)是极大值点，x2＝(3)/(2)是极小值点；　　　　
（2）记g（x）=ax²-2ax+1，则g（x）=a（x-1）²+（1-a），
∵f（x）为[(1)/(2)， (3)/(2)]上的单调函数，
则f'（x）在[(1)/(2)， (3)/(2)]上不变号，
∵(ex)/((1+ax2)2)＞0，
∴g（x）≥0或g（x）≤0对x∈[(1)/(2)， (3)/(2)]恒成立，
由g（1）≥0或g((1)/(2))≤0⇒0＜a≤1或a≥(4)/(3)，
∴a的取值范围是0＜a≤1或a≥(4)/(3)．