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平行四边形ABCD中以AC边为边长在某两侧各作一个正三角形ACP与三角形ACQ求证BPDQ为平行四边形
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平行四边形ABCD中以AC边为边长在某两侧各作一个正三角形ACP与三角形ACQ求证BPDQ为平行四边形
▼优质解答
答案和解析
证明:
∴ △APC、△AQC为等边三角形.
∴∠PAC=∠ACQ=60°
AP=CQ=AC
∴AP‖CQ
又∵ABCD为平行四边形∴AD=BC且AD‖BC
∠DAC=∠ACB,
∴∠DAC+∠PAC=∠ACB+∠ACQ
即:∠DAP=∠QCB
在△DAP和△QCB中,AD=BC,∠DAP=∠QCB,AP=CQ
∴△DAP≌△QCB
∴DP=QB (1)
同理,∠ACP=∠QAC=60°,AQ=PC=AC,∠ACB-∠ACP=∠DAC-∠QAC
即:∠DAQ=∠PCB
在△DAQ和△BCP中,∠DAQ=∠PCB,AQ=PC,AD=CB
∴△DAQ≌△BCP
∴BP=QA (2)
由(1)(2),
四边形PDQC是平行四边形
图:
∴ △APC、△AQC为等边三角形.
∴∠PAC=∠ACQ=60°
AP=CQ=AC
∴AP‖CQ
又∵ABCD为平行四边形∴AD=BC且AD‖BC
∠DAC=∠ACB,
∴∠DAC+∠PAC=∠ACB+∠ACQ
即:∠DAP=∠QCB
在△DAP和△QCB中,AD=BC,∠DAP=∠QCB,AP=CQ
∴△DAP≌△QCB
∴DP=QB (1)
同理,∠ACP=∠QAC=60°,AQ=PC=AC,∠ACB-∠ACP=∠DAC-∠QAC
即:∠DAQ=∠PCB
在△DAQ和△BCP中,∠DAQ=∠PCB,AQ=PC,AD=CB
∴△DAQ≌△BCP
∴BP=QA (2)
由(1)(2),
四边形PDQC是平行四边形
图:
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