x^4-3x^3-10x^2+42x-20=0巳佑它的根中有一个是3+i那么它的解集为?

Question

x^4-3x^3-10x^2+42x-20=0巳佑它的根中有一个是3+i那么它的解集为?

Answer 1

在复数范围内求解.
则x^4-3x^3-10x^2+42x-20可写为(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)形式
且若存在复数解,则定存在另一解为其共轭复数.
已知3+i为其一解,则有一解为3-i.
x^4-3x^3-10x^2+42x-20=(x-3-i)(x-3+i)(x-c)(x-d)=(x²-6x+10)(x-c)(x-d)
除法 (x^4-3x^3-10x^2+42x-20)/(x²-6x+10)=x²+3x-2=(x-(-3+√17)/2)(x-(-3-√17)/2)
故解集为{3+i,3-i,(-3+√17)/2,(-3-√17)/2}