某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元，两侧墙砌砖，每1m长造价45元，顶部每1m2造价20元.计算：（1）

Question

某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1 m长造价40元，两侧墙砌砖，每1 m长造价45元，顶部每1 m ² 造价20元.计算：（1）仓库底面积S的最大允许值是多少？（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

Answer 1

思路解析： 可转化为二次函数求最值问题，也可以设出矩形的长、宽后，由均值定理求解.

设铁栅长为x m，一堵砖墙为y m，则有S=xy.

由题意得40x+2×45y+20xy=3 200.（*）

应用算术平均数与几何平均数定理，得

3 200≥2 +20xy=120 +20xy=120 +20S

∴S+6 ≤160 即( +16)( -10)≤0.

∵ +16＞0 ∴ -10≤0 从而S≤100.

因此S的最大允许值是100  m ² ，取得此最大值的条件是40x=90y 而xy=100 由此求得x=15，即铁栅的长应是15 m.