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如图,已知抛物线y=-x2+px+q的对称轴为x=-3,过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N(-1,1).要在坐标轴上找一点P,使得△PMN的周长最小,则点P的坐标为()A.(0,2)B
题目详情
如图,已知抛物线y=-x2+px+q的对称轴为x=-3,过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N(-1,1).要在坐标轴上找一点P,使得△PMN的周长最小,则点P的坐标为( )
A.(0,2)
B.(
,0)
C.(0,2)或(
,0)
D.以上都不正确
A.(0,2)
B.(
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3 |
C.(0,2)或(
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D.以上都不正确
▼优质解答
答案和解析
如图,∵抛物线y=-x2+px+q的对称轴为x=-3,点N(-1,1)是抛物线上的一点,
∴
,
解得,
.
∴该抛物线的解析式为y=-x2-6x-4=-(x+3)2+5,
∴M(-3,5).
∵△PMN的周长=MN+PM+PN,且MN是定值,所以只需(PM+PN)最小.
如图1,过点M作关于y轴对称的点M′,连接M′N,M′N与y轴的交点即为所求的点P.则M′(3,5).
设直线M′N的解析式为:y=ax+t(a≠0),则
,
解得,
,
故该直线的解析式为y=x+2.
当x=0时,y=2,即P(0,2).
同理,如图2,过点M作关于x轴对称的点M′,连接M′N,则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P(
,0).
综上所述,符合条件的点P的坐标是(0,2)或(
,0).
故选:C.
∴
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解得,
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∴该抛物线的解析式为y=-x2-6x-4=-(x+3)2+5,
∴M(-3,5).
∵△PMN的周长=MN+PM+PN,且MN是定值,所以只需(PM+PN)最小.
如图1,过点M作关于y轴对称的点M′,连接M′N,M′N与y轴的交点即为所求的点P.则M′(3,5).
设直线M′N的解析式为:y=ax+t(a≠0),则
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解得,
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故该直线的解析式为y=x+2.
当x=0时,y=2,即P(0,2).
同理,如图2,过点M作关于x轴对称的点M′,连接M′N,则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P(
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3 |
综上所述,符合条件的点P的坐标是(0,2)或(
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故选:C.
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