如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．（1）求A、B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是

Question

如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3 ，0）．
（1）求A、B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵y=3x+3，
∴当x=0时，y=3，当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0），B（0，3）．

（2）设抛物线的解析式为y=ax ² +bx+c，由题意，得

0=a-b+c

3=c

0=9a+3b+c

，
解得

a=-1

b=2

c=3

∴抛物线的解析式为：y=-x ² +2x+3

（3）∵y=-x ² +2x+3，
∴y=-（x-1） ² +4
∴抛物线的对称轴为x=1，设Q（1，a），
（1）当AQ=BQ时，如图，
由勾股定理可得
BQ=

BF 2 + QF 2

=

(1-0) 2 + (3-a) 2

，
AQ=

AD 2 + QD 2

=

2 2 + a 2

得

(1-0) 2 + (3-a) 2

=

2 2 + a 2

，解得
a=1，
∴Q（1，1）；
（2）如图：
当AB是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，AB=BQ，
∴

(1-0) 2 + (a-3) 2

=

10

解得：a=0或6，
当Q点的坐标为（1，6）时，其在直线AB上，A、B和Q三点共线，舍去，
则此时Q的坐标是（1，0）；
（3）当AQ=AB时，如图：

2 2 + a 2

=

10

，解得a=±

6

，则Q的坐标是（1，

6

）和（1，-

6

）．
综上所述：Q（1，1），（1，0），（1，

6

），（1，-

6

）．