如图，抛物线L：y=-12（x-t）（x-t+4）（常数t>0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y=kx（k>0，x>0）于点P，且OA•MP=12．（1）求k的值；（2）当t=1时，求AB

Question

如图，抛物线L：y=-(1)/(2)（x-t）（x-t+4）（常数t>0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y=(k)/(x)（k>0，x>0）于点P，且OA•MP=12．

（1）求k的值；
（2）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标．

Answer 1

（1）设P（x，y）则MP=y，
∵M为OA的中点，
∴OA=2x，
∵OA•MP=12，
∴2xy=12，
∴xy=6，
∴k=6；
（2）当t=1，y=0时，0=-(1)/(2)（x-1）（x-1+4），解得x=1或x=-3，
∴A（1，0）、B（-3，0），
∴AB=4；
∴抛物线L的对称轴为直线x=(1+(-3))/(2)=-1，
∵OA=1，
∴MP为直线x=(1)/(2)，
∴直线MP与L对称轴之间的距离为(3)/(2)；
（3）在y=-(1)/(2)（x-t）（x-t+4）中，令y=0可得-(1)/(2)（x-t）（x-t+4）=0，解得x=t或x=t-4，
∴A（t，0），B（t-4，0），
∴抛物线L的对称轴为直线x=(t+t-4)/(2)=t-2，
又∵MP为直线x=(t)/(2)，
∴当抛物线L的顶点在直线MP上或左侧时，即t-2≤(t)/(2)时，解得t≤4，此时，顶点（t-2，2）为图象G最高点的坐标；
当抛物线L的顶点在直线MP右侧时，即t-2>(t)/(2)时，解得t>4，此时时，交点直线MP与抛物线L的交点为（(t)/(2)，-(1)/(8)t²+t），为图象G最高点的坐标．