（2005•武汉模拟）设椭圆x2a2+y2b2=1和x轴正方向的交点为A，和y轴的正方向的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，使四边形OAPB面积最大（O为原点），那么四边形OAPB面积最大值为（）A.2a

Question

（2005•武汉模拟）设椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1和x轴正方向的交点为A，和y轴的正方向的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，使四边形OAPB面积最大（O为原点），那么四边形OAPB面积最大值为（　　）
A. √(2)ab
B. (√(2))/(2)ab
C. (1)/(2)ab
D. 2ab

Answer 1

由于点P是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1上的在第一象限内的点，
 设P为（acosa，bsina）即x=acosa y=bsina （0＜a＜(π)/(2)），
这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，
对于三角形OAP有面积S₁=(1)/(2)absinα，对于三角形OBP有面积S₂=(1)/(2)abcosα
∴四边形的面积S=S₁+S₂=(1)/(2)ab（sinα+cosα）
=(√(2))/(2)absin（a+(π)/(4)）
其最大值就应该为 (√(2))/(2)ab，
并且当且仅当a=(π)/(4)时成立．所以，面积最大值 (√(2))/(2)ab．
故选B．