已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与X轴的正方向交于A,0为坐标原点,以OA为直径的圆除点A外还有两个交点...已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与X轴的正方向交于A,0为坐标原点,以OA为直径的圆除点A外还有两

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与X轴的正方向交于A,0为坐标原点,以OA为直径的圆除点A外还有两个交点...
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与X轴的正方向交于A,0为坐标原点,以OA为直径的圆除点A外还有两个交点p,Q求证:e>二分之根号二.

Answer 1

以OA为直径的圆的方程
x²+y²-ax=0
与椭圆方程联立,整理得
c²x²-a³x+a²b²=0
由题设,该方程有两个不同实根
x=a是其中一个,由韦达定理
另一个为ab²/c²
ab²/c²＜a
b²＜c²
a²＜2c²
e＞1/√2