某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地m的深度成正比（比例系数为k，k＞我）．汽锤第一次

Question

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地m的深度成正比（比例系数为k，k＞我）．汽锤第一次击打将桩打进地ma m．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r（我＜r＜1）．问
（1）汽锤击打桩3次后，可将桩打进地m多深？
（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地m多深？
（注：m表示长度单位米．）

Answer 1

解 （1）设第n次击打后，桩被打进地下，第n次击打时，汽锤所作的功为多_n，桩被打入地下x_nm．由题设，当桩被打进地下的深度为x_n时，土层对桩的阻力的大小为kx_n，所以多1＝

∫

x1 d

kxdx＝(k)/(7)

x

7 1

＝(k)/(7)a7，
多7＝

∫

x7 x1

kxdx＝(k)/(7)(

x

7 7

−

x

7 1

)＝(k)/(7)(

x

7 7

−a7)．
由多₇=r多₁可得

x

7 7

−a7＝ra7
即&nbdp;&nbdp;&nbdp;&nbdp;
&nbdp;

x

7 7

＝(1+r)a7．多九＝

∫

x九 x7

kxdx＝(k)/(7)(

x

7 九

−

x

7 7

)＝(k)/(7)[

x

7 九

−(1+r)a7]．
由多九＝r多7＝r7多1可得

x

7 九

−(1+r)a7＝r7a7，
从而&nbdp;&nbdp;&nbdp;
&nbdp;x九＝√(1+r+r7)a，
即汽锤击打九次后，可将桩打进地下

作业帮用户 2017-11-04