（2014•河南一模）已知圆N：（x+2）2+y2=8和抛物线C：y2=2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当直线Z酌斜率为1时，求线段AB的长；（Ⅱ）设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存

Question

（2014•河南一模）已知圆N：（x+2）²+y²=8和抛物线C：y²=2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）当直线Z酌斜率为1时，求线段AB的长；
（Ⅱ）设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在直线l，使得

MA

⊥

MB

？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵圆N：（x+2）²+y²=8，
∴圆心N为（-2，0），半径r=2√(2)，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线的斜率为1时，设l的方程为y=x+m，即x-y+m=0，
∵直线l是圆N的切线，∴(|−2+m|)/(√(2))＝2√(2)，
解得m=-2，或m=6（舍去）
此时直线l的方程为y=x-2，
由

y＝x−2

y2＝2x

，消去x得y²-2y-4=0，
∴△=（-2）²+16=20＞0，
y₁+y₂=2，y₁•y₂=4，
(y1−y2)2＝(y1+y2)2−4y1y2＝20，
∴弦长|AB|=√(1+(1)/(k2))|y1−y2|＝2√(10)．
（2）（i）设直线l的方程为y=kx+m，即kx-y+m=0（k≠0），
∵直线l是圆N的切线，∴(|−2k+m|)/(√(1+k2))＝2√(2)，
得m²-4k²-4mk-8=0，①
由

y＝kx+m

y2＝2x

，消去x得ky²-2y+2m=0，
∴△=4-4k×2m＞0，即km＜(1)/(2)且k≠0，
y1+y2＝(2)/(k)，y1y2＝(2m)/(k)，
∵点M与点N关于直线y=x对称，∴M（0，-2），
∴

MA

＝(x1，y1+2)，

MB

＝(x2，y2+2)，
∵

MA

⊥

MB

，∴x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=0，
将A，B在直线y=kx+m上代入并化简，得
(1+k2)y1y2+(2k2−m)(y1+y2)+m2+4k2＝0，
代入y1+y2＝(2)/(k)，y1y2＝(2m)/(k)，
得(1+k2)•(2m)/(k)+(2k2−m)•(2)/(k)+m2+4k2＝0，
化简，得m²+4k²+2mk+4k=0，②
①+②得2m²-2mk+4k-8=0，
即（m-2）（m-k+2）=0，
解得m=2，或m=k-2．
当m=2时，代入①，解得k=-1，满足条件km＜(1)/(2)，且k≠0，
此时直线l的方程为y=-x+2．
当m=k-2时，代入①整理，得7k²-4k+4=0，无解．
（ii）当直线l的斜率不存在时，
因为直线l是圆N的切线，所以l的方程为x=2√(2)-2．
则得x1x2＝4(3−2√(2))，y₁+y₂=0，
(y1y2)2＝4x1x2＝16(3−2√(2))，
即y1y2＝4(1−√(2))＜0，
由①得：

MA

•

MB

＝x1x2+(y1+2)(y2+2)
=x₁x₂+y₁y₂+2（y₁+y₂）+4
=20-12√(2)≠0，
当直线l的斜率不存在时，

MA

⊥

MB

不成立．
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=-x+2．