（2014•浦东新区二模）（理）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d-c，其中d＞c．（1）已知函数y=|2x-1|的定义域为[a，b]，值域为[0，12]，写出区间[a，b]长度的最大值与最小

Question

（2014•浦东新区二模）（理）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d-c，其中d＞c．
（1）已知函数y=|2^x-1|的定义域为[a，b]，值域为[0，(1)/(2)]，写出区间[a，b]长度的最大值与最小值．
（2）已知函数f_M（x）的定义域为实数集D=[-2，2]，满足f_M（x）=

x，x∈M

−x，x∈M

（M是D的非空真子集）．集合A=[1，2]，B=[-2，-1]，求F（x）=(fA∪B(x))/(fA(x)+fB(x)+3)的值域所在区间长度的总和．
（3）定义函数f（x）=(1)/(x−1)+(2)/(x−2)+(3)/(x−3)+(4)/(x−4)-1，判断函数f（x）在区间（2，3）上是否有零点，并求不等式f（x）＞0解集区间的长度总和．

Answer 1

（1）|2x−1|＝(1)/(2)，
解得x=-1或x＝log2(3)/(2)，
|2^x-1|=0，解得x=0，
画图可得：区间[a，b]长度的最大值为log₂3，

最小值为log2(3)/(2)．
（2）F(x)＝

(x)/(3)，x∈A∪B

(x)/(2x−3)，x∈(−1，1)

当x∈A∪B，F(x)∈[−(2)/(3)，−(1)/(3)]∪[(1)/(3)，(2)/(3)]，
当x∈（-1，1），F(x)∈(−1，(1)/(5))，
所以x∈[-2，2]时，F(x)∈(−1，(1)/(5))∪[(1)/(3)，(2)/(3)]
所以值域区间长度总和为(23)/(15)．
（3）由于当2＜x＜3时，取x=2.001，f（2.001）＞0，
取x=2.999，f（2.999）＜0，
所以方程f（x）=0在区间（2，3）内有一个解
考虑函数f(x)＝(1)/(x−1)+(2)/(x−2)+(3)/(x−3)+(4)/(x−4)−2，
由于当x＜1时，f（x）＜0，
故在区间（-∞，1）内，不存在使f（x）＞0的实数x；
对于集合{1，2，3，4}中的任一个k，由于当k-1＜x＜k时，
取x=k+0.001，f（x）＞0，取x=k+1-0.001，f（x）＜0
又因为函数y=f（x）在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内单调递减，
所以方程f（x）=0在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内各有一个解；
依次记这4个解为x₁，x₂，x₃，x₄，
从而不等式f（x）＞0的解集是E=（1，x₁）∪（2，x₂）∪（3，x₃）∪（4，x₄），
故得所有区间长度的总和为S=（x₁-1）+（x₂-2）+（x₃-3）+（x₄-4）=x₁+x₂+x₃+x₄-10…①
对f（x）＞0进行通分处理，分子记为p（x）

p(x)＝(x−2)(x−3)(x−4)+2(x−1)(x−3)(x−4)+3(x−1)(x−2)(x−4)+4(x−1)(x−2)(x−3)

−2(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)

如将p（x）展开，其最高项系数为-2，设