2001年1月1日是星期一,再过2000的2001平方天是星期几?

Question

2001年1月1日是星期一,再过2000的2001平方天是星期几?

Answer 1

2000=285X7 +5
2000^2001=(285X7+5)^2001
用二项式定理展开之后,最后一项为5^2001.我们只要看这一项被7除的余数即可.
5^2001=(5^2000)X5=(25^1000)X5
=(625^500)X5=[(89X7+2)^500]X5
同样的道理,只要知道(2^500)X5被7除的余数即可.
(2^500)X5=(4^250)X5=(16^125)X5=[(14+2)^125]X5
只要知道(2^125)X5被7除的余数即可.
(2^125)X5=(2^120)X(2^5)X5=(4^60)X160=(16^30)X160
=(256^15)X160=[(36X7+4)^15]X(22X7+6)
所以只要知道4^15X6被7除的余数即可.
4^15X6=4^14X24=(16^7)X(3X7+3)=[(14+2)^7]X(3X7+3)
所以只要知道4^15X6被7除的余数即可2^7X3被7除的余数即可.
2^7X3=384
384=56X7+2
所以第2000^2001-2天还是星期一,再过两天当然是星期3.