设椭圆x2a2+y21=1（a＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上位于x轴上方的动点．（Ⅰ）当AF1•AF2取最小值时，求A点的坐标；（Ⅱ）在（Ⅰ）的情形下，是否存在以A为直角顶点的内接于椭

题目详情

设椭圆

=1（a＞1）的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上位于x轴上方的动点．
（Ⅰ）当

AF1

•

AF2

取最小值时，求A点的坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的情形下，是否存在以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．

▼优质解答

答案和解析

（Ⅰ）设A（x，y），F₁（-c，0）．F₂（c，0），则

AF1

•

AF2

=x²+y²-c²
因为A（x，y）在椭圆上，所以y2=1-

，
所以

AF1

•

AF2

=x2(1-

)+1-c2
∵a＞1，∴当x=0时，

AF1

•

AF2

取得最小值，此时A点的坐标为A（0，1）．
（Ⅱ）设两个顶点为B，C，显然直线AC斜率存在，不妨设AC的直线方程为y=kx+1（不妨设k＞0），代入椭圆的方程中可得(

+k2)x2+2kx=0，解得x₁=0（即A点的横坐标），x₂=-

+k2

由弦长公式得：|AC|=

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