已知椭圆M：的面积为πab，且M包含于平面区域Ω：内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，(1)试求椭圆M的方程；(2)若斜率为的直线l与椭圆M交于C，D两点，点P（1，）为椭

Question

已知椭圆M： 的面积为πab，且M包含于平面区域Ω： 内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为 ，
(1)试求椭圆M的方程；
(2)若斜率为 的直线l与椭圆M交于C，D两点，点P（1， ）为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k ₁ ，直线PD的斜率为k ₂ ，试问：k ₁ +k ₂ 是否为定值？请证明你的结论。

Answer 1

已知椭圆M： 的面积为πab，且M包含于平面区域Ω： 内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为 ，
(1)试求椭圆M的方程；
(2)若斜率为 的直线l与椭圆M交于C，D两点，点P（1， ）为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k ₁ ，直线PD的斜率为k ₂ ，试问：k ₁ +k ₂ 是否为定值？请证明你的结论。

(1)平面区域Ω： 是一个矩形区域，如图(1)所示， 依题意及几何概型知识，可得 ， 故ab=2 ，因为0＜a≤2，0＜b≤ ， 所以a=2，b= ， 所以椭圆M的方程为 。
(2)如图(2)，设直线l的方程为 ， ， 联立直线l的方程与椭圆方程得 ， 将①代入②得 ， 化简得 ，③ 当△＞0，即 ， 也即|b|＜2时，直线l与椭圆有两交点， 由韦达定理得 ， 所以 ， 则 ， 所以k 1 +k 2 为定值。