如图，A1，A为椭圆的两个顶点，F1，F2为椭圆的两个焦点．（Ⅰ）写出椭圆的方程；（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P1两点，直线A1P与AP1交于点M．求证：点M在双曲

Question

如图，A₁，A为椭圆的两个顶点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点．
（Ⅰ）写出椭圆的方程；
（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P₁两点，直线A₁P与AP₁交于点M．求证：点M在双曲线(x2)/(25)-(y2)/(9)=1上．

Answer 1

（Ⅰ）由图可知，a=5，c=4，∴b=√(a2-c2)=3．
∴该椭圆的方程为(x2)/(25)+(y2)/(9)=1，
（Ⅱ）证明：设K点坐标（x₀，0），点P、P₁的坐标分别记为（x₀，y₀），（x₀，-y₀），
其中0＜x₀＜5，则(x20)/(25)+(y20)/(9)=1，…①
直线A₁P，P₁A的方程分别为：（x₀+5）y=y₀（x+5），…②（5-x₀）y=y₀（x-5）．…③
②式除以③式得(x0+5)/(5-x0)=(x+5)/(x-5)，化简上式得x=(25)/(x0)，代入②式得y=(5y0)/(x0)，
于是，直线A₁P与AP₁的交点M的坐标为((25)/(x0)，(5y0)/(x0))．
因为(1)/(25)((25)/(x0))2-(1)/(9)((5y0)/(x0))2=(25)/(x20)-(25)/(x20)(1-(x20)/(25))=1．
所以，直线A₁P与AP₁的交点M在双曲线

作业搜用户 2016-12-01