已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为2，离心率等于.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，求证：为定值.
已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，且短轴长为2，离心率等于
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点
作直线
交椭圆于
两点，交
轴于
点，若
，求证：
为定值.
（1）设椭圆
的方程为
，则由题意知
，所以
.
，解得
，所以椭圆的方程为
.
（2）证明：设
的点的坐标分别为
，易知
点的坐标为
，显然直线
的斜率存在，设直线的斜率为
，则直线的方程是
，将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去
并整理得
，∴
，又∵
，将各点坐标代入得
，
∴
.
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