如图是某“吃货”设想的“糖炒粟子”神奇装置：炒锅的纵截面与半径R=1.6m的光滑半圆弧轨道位于同一竖直面内，炒锅纵截面可看作是长度均为L=2.5m的斜面AB、CD和一小段光滑圆弧BC平滑对接

Question

如图是某“吃货”设想的“糖炒粟子”神奇装置：炒锅的纵截面与半径R=1.6m的光滑半圆弧轨道位于同一竖直面内，炒锅纵截面可看作是长度均为L=2.5m的斜面AB、CD和一小段光滑圆弧BC平滑对接组成．假设一粟子从水平地面上以水平初速v₀射入半圆弧轨道，并恰好能从轨道最高点P飞出，且速度恰好沿AB方向从A点进入炒锅．已知两斜面的倾角均为θ=37°，栗子与两斜面之间的动摩擦因数均为μ=(3)/(8)，栗子在锅内的运动始终在图示纵截面内，整个过程栗子质最不变，重力加速度取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：

（1）粟子的初速度v₀及A点离地高度h；
（2）栗子在斜面CD上能够到达的距C点最大距离．

Answer 1

（1）在P点时，粟子恰好飞出，则有：
mg=m(v2)/(R)
解得：v=√(gR)=√(10×1.6)=4m/s
粟子在圆弧面上运动时，机械能守恒，
mg2R=(1)/(2)mv₀²-(1)/(2)mv²
联立解得：v₀=√(5gR)=√(5×10×1.6)=4√(5)m/s；
粟子由P点做平抛运动，平行于AB方向进行斜面，说明粟子末速度方向与水平方向成45°角；
则有：v_y=v₀tan37°=4×(3)/(4)=3m/s；
合速度v_A=√(32+42)=5m/s
根据v_y=gt可知，下落时间t=(3)/(10)=0.3s；
小球下落高度h=(1)/(2)gt²=(1)/(2)×10×0.09=0.45m；
A点离地高度h'=2R-h=2×1.6-0.45=2.75m；
（2）假设粟子在CD边上上滑的距离为x，则对由A到右侧最高点分析，由动能定理可知：
mg（Lsin37°-xsin37°）-μmgcos37°（L+x）=0-(1)/(2)mv_A²
解得：x=(20)/(9)m
答：（1）粟子的初速度v₀及A点离地高度h分别为4√(5)m/s和2.75m
（2）栗子在斜面CD上能够到达的距C点最大距离为

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