A一线性映射,A单射等价于kerA=｛0｝怎么证的啊

Question

A一线性映射,A单射等价于kerA=｛0｝
怎么证的啊

Answer 1

可以用反证法说明,假设A不是单射,则在线性空间V中存在两个向量a和b（a≠b）,使得A(a)=A(b),根据线性变换的定义,有A(a-b)=A(a)-A(b)=0,令向量c=a-b（≠0）,则A(c)=0.如果已知kerA={0},则与“存在c≠0使得A(c)=0”矛盾,也就是A必定是单射；同理,如果已知A是单射,假设kerA≠{0},则存在c≠0使得A(c)=0,令c=a-b,则A(c)=A(a)-A(b)=0,A(a)=A(b),这与A是单射矛盾.综上A是单射和kerA={0}等价.