已知圆O1：（x-2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．3+224B．

Question

已知圆O₁：（x-2）²+y²=16和圆O₂：x²+y²=r²（0＜r＜2），动圆M与圆O₁、圆O₂都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e₁、e₂（e₁＞e₂），则e₁+2e₂的最小值是（　　）

A．(3+2√(2))/(4)
B．(3)/(2)
C．√(2)
D．(3)/(8)

Answer 1

①当动圆M与圆O₁、O₂都相内切时，|MO₂|+|MO₁|=4-r=2a，∴e₁=(2)/(4−r)．
②当动圆M与圆O₁相外切而与O₂相内切时，|MO₁|+|MO₂|=4+r=2a′，∴e₁=(2)/(4+r)
∴e₁+2e₂=(2)/(4−r)+(4)/(4+r)=(24−2r)/(16−r2)，
令12-r=t（10＜t＜12），e₁+2e₂=2×(1)/(24−t−(128)/(t))≥2×(1)/(24−16√(2))=(1)/(12−8√(2))=(3+2√(2))/(4)
故选：A．