已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x-a）2+（y-b）2=b2+1，圆O2：（x-c）2+（y-d）2=d2+1，若ac=8，ab=cd，则点P与直线l：3x-4y-25=0上任意一点M之间的距离的最

Question

已知P点为圆O₁与圆O₂公共点，圆O₁：（x-a）²+（y-b）²=b²+1，圆O₂：（x-c）²+（y-d）²=d²+1，若ac=8， (a)/(b)= (c)/(d)，则点P与直线l：3x-4y-25=0上任意一点M之间的距离的最小值为___．

Answer 1

∵ac=8，(a)/(b)=(c)/(d)，∴(b)/(a)=(d)/(c)，故两圆的圆心O₁（a，b）、圆心O₂（c，d）、原点O三点共线，
不妨设 (b)/(a)=(d)/(c)=k，则c=(8)/(a)，b=ka，d=kc=(8k)/(a)．
把圆O₁：（x-a）²+（y-b）²=b²+1，圆O₂：（x-c）²+（y-d）²=d²+1相减，
可得公共弦的方程为 （2c-2a）x+（2d-2b）y=c²-a²，
即（(16)/(a)-2a）x+（(16k)/(a)-2•ka）y=(64)/(a2)-a²，即2（(8)/(a)-a）x+2k（(8)/(a)-a）y=（(8)/(a)+a）（(8)/(a)-a），
当a≠±2√(2)时，(8)/(a)-a≠0，公共弦的方程为：2x+2ky=(8)/(a)+a，即：2ax+2kay=a²+8，
即：2ax+2by=a²+8．
O₁：（x-a）²+（y-b）²=b²+1，即 x²+y²=2ax+2by-a²+1，
再把公共弦的方程代入圆O₁的方程可得 x²+y²=9 ①．
令4y-3x=t，代入①可得25x²+6tx+t²-144=0．
再根据此方程的判别式△=36t²-100（ t²-144）≥0，求得-15≤t≤15．
点P到直线l：3x-4y-25=0的距离为 (|-3x+4y+25|)/(5)=(|-t-25|)/(5)=(|t+25|)/(5)，
故当4y-3x=t=-15时，点P到直线l：3x-4y-25=0的距离取得最小值为2．
当a=±2√(2)时，由条件可得a=c，b=d，此时，两圆重合，不合题意．
故答案为：2．